Textes mathématiques

Rapport de TIPE (rapport(.pdf), sources(.tgz))

Mon TIPE (travail d’initiative personnelle encadrée) portait sur la démonstration du joli théorème affirmant que l’espace des réseaux unitaires de ℝ² est homéomorphe à 𝕊³ privée d’un nœud de trèfle, un réseau unitaire étant défini comme étant l’image de ℤ² par une application linéaire de déterminant 1. Ce sujet m’a été proposé par mon professeur de mathématiques de MPSI (Serge Dupont) et était principalement basé sur le texte de Frédéric Paulin dans le livre « Sur la dynamique des groupes de matrices et applications arithmétiques ». Mon travail a consisté à comprendre la démonstration en profondeur pour pouvoir la réécrire entièrement à ma manière. J’ai ainsi réorganisé la démonstration de la façon qui me semblait la plus logique dans le cadre de mon TIPE, en justifiant au passage les points laissés vagues dans l’article original.

Ce rapport est celui que j’ai rendu pour l’épreuve de TIPE des ENS (session 2009), il est donc relativement restreint (cinq pages de textes, une de bibliographie et trois d’images), mais chaque proposition est accompagnée d’une ébauche de démonstration qui devrait normalement suffire à retrouver la démonstration complète. N’hésitez pas à me demander si un point n’est pas clair. Et toutes les images ont été faites en SVG à la main dans un éditeur de texte.

Le théorème de complétude de Gödel (transparents(.pdf), source(.tex))

Le mercredi 4 février 2009, j’ai donné un exposé d’une heure sur le théorème de complétude de Gödel, dans le cadre du séminaire de mathématiques des élèves du lycée Louis-le-Grand, dont voici le résumé :

La notion de démonstration, omniprésente en mathématiques, est souvent vue comme une notion étrangère aux mathématiques, un simple outil de raisonnement qui n’en ferait pas véritablement partie. On peut cependant définir (de façon purement syntaxique) ce qu’est une démonstration. Cela appelle alors à une deuxième définition, cette fois sémantique : celle de la notion de validité, qui coïncide avec la notion intuitive que l’on a de « vérité mathématique ». Démonstrabilité et validité se trouvent alors intimement liées par le fameux théorème de complétude de Gödel : une formule est démontrable si et seulement si elle est valide.

Dans cet exposé, on se propose de définir précisément les notions de démonstration et de validité, pour pouvoir démontrer le théorème de complétude, et terminer par une application à l’arithmétique non standard.

Les transparents ne sont pas tout à fait autosuffisants, même s’ils le sont quand même presque ; donc encore une fois, n’hésitez pas à me contacter pour toute question.

Épreuve de mathématiques 1 des ENS, session 2009 (sujet(.pdf), ma correction(.pdf), source(.tex))

Sur la proposition d’Yves Duval, mon professeur de mathématiques de MP*, j’ai passé l’été qui a suivi les épreuves de l’ENS à rédiger une correction complète et détaillée de l’épreuve de mathématiques 1. J’ai essayé de faire une correction complètement rédigée, et en signalant et corrigeant les erreurs d’énoncé afin de pouvoir poursuivre et achever la démonstration du théorème de Freiman. Merci de me signaler toute erreur ou omission que vous pourriez trouver.

Densdisigeblaj spacoj (texte(.pdf), source(.tex))

Une démonstration du fait que tout espace métrique sans point isolé est « résoluble », c’est à dire partitionnable en deux sous-ensembles denses, au même titre que l’ensemble des nombres réels peut être partitionné en les rationnels et les irrationnels, ces deux ensembles étant denses (en espéranto).

Fichier LaTeX vierge à compléter (ici(.tex))

Le fichier LaTeX de base que j’utilise. Il ne contient pas des tonnes de packages inutiles comme certains que vous pouvez trouver sur internet, mais seulement les packages indispensables pour avoir un document avec les bonnes marges et les bonnes polices.