Séminaire de probas des élèves de l'ENS 2015-2016

Au premier semestre, le séminaire se réunit généralement les lundis de 18h à 19h, toutes les deux semaines environ, en salle Verdier. Voici la liste des séances passées ou à venir :

02/11/2015, 18h00 : Paul Melotti, "La formule de Kac-Ward"

Après quelques rappels sur le modèle d'Ising planaire, on énonce la formule de Kac-Ward qui exprime la fonction de partition du modèle d'Ising comme le déterminant d'une matrice construite géométriquement. On en donne une preuve combinatoire récente due à M.Lis. Enfin, on glisse quelques mots sur les résultats d'invariance conforme du modèle d'Ising établis par Smirnov et ses coauteurs, et on mentionne un théorème qui relie l'inverse de la matrice de Kac-Ward aux observables de Smirnov.

Références :
M. Lis, A short proof of the Kac-Ward formula (2015)
S. Smirnov, Towards conformal invariance of 2D lattice models (2007)
M. Lis, The Fermionic Observable in the Ising Model and the Inverse Kac–Ward Operator (2013)

16/11/2015, 18h00 : Thomas Budzinski, "Marches aléatoires, réseaux électriques et empilement de cercles"

Le but de l'exposé est dans un premier temps d'étudier le lien entre les marches aléatoires sur un graphe et les réseaux électriques. En particulier, un graphe est récurrent si et seulement si la résistance équivalente entre un point et l'infini est infinie. On verra ensuite une application plus récente de ces liens : le théorème de He-Schramm (1995), qui établit un lien entre la récurrence de la marche aléatoire sur un graphe planaire et le comportement de l'empilement de cercles associé à ce graphe.

30/11/2015, 17h30 : Guillaume Conchon-Kerjan, "Modèle de Norros-Reittu"

Le modèle de Norros-Reittu est un graphe aléatoire récent (2006) où le nombre d'arêtes entre deux sommets est donné par une loi de Poisson dont le paramètre est proportionnel au produit de leurs degrés. Ses propriétés asymptotiques (présence ou non d'une composante connexe géante selon la distribution des degrés, distance typique entre deux sommets de la composante) sont semblables à de nombreux graphes aléatoires, où la probabilité que deux sommets soient reliés est proportionnelle au produit des degrés. L'utilisation des lois de Poisson simplifie beaucoup la comparaison entre l'exploration des voisinages successifs d'un sommet et un processus de Galton-Watson bien choisi. Norros et Reittu ont montré dans l'article original que lorsque la distribution des degrés des sommets est à queue polynômiale, la distance typique entre deux sommets de la composante géante (si elle existe) est de l'ordre de log n, log log n [n étant le nombre de sommets] ou même constante selon l'exposant de la distribution.

07/12/2015, 18h00 : Hugo Vanneuville, "Limites d'échelle en percolation dynamique"

Le modèle de percolation par sites de paramètre p sur le réseau triangulaire (plan) est obtenu en coloriant chaque site du réseau en bleu avec probabilité p et jaune avec probabilité 1-p (indépendamment des autres sites). Le paramètre p = 1/2 joue un rôle bien particulier (on dira que c'est le paramètre critique). En 1997, Häggström, Peres et Steif ont défini et étudié un modèle de percolation dynamique dans lequel les couleurs des différents sites évoluent au cours de temps indépendamment les unes des autres. En 2013, Broman, Garban et Steif ont étudié un modèle de percolation dynamique conservative dans lequel au cours du temps des paires de sites échangent leur couleur. Dans cet exposé, on s'intéressera aux limites d'échelle (en temps et espace) de ces modèles de percolation dynamique au paramètre critique. Plus précisément, on parlera de percolation, puis de limites d'échelle en percolation et enfin de limites d'échelle en percolation dynamique. En particulier, on se demandera quel sens donner à ces limites d'échelle. Cet exposé ne demande pas de prérequis particulier.